【怎么求定积分的导数】在微积分中，定积分与导数之间的关系是核心内容之一。尤其在学习牛顿-莱布尼兹公式和微积分基本定理时，理解如何求定积分的导数是非常重要的。本文将从基础概念出发，结合实例，总结出“怎么求定积分的导数”的方法，并以表格形式进行归纳。
一、基础知识回顾
1. 定积分的定义：
定积分表示函数在某一区间上的面积或累积量，记作：
$$
\int_a^b f(x) \, dx
$$
2. 不定积分（原函数）：
若 $ F'(x) = f(x) $，则 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，即：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
3. 微积分基本定理：
如果 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
4. 变限积分：
当积分上限或下限不是常数而是变量时，称为变限积分，如：
$$
\int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt \quad \text{或} \quad \int_{v(x)}^{b} f(t) \, dt
$$
二、怎么求定积分的导数？
当我们要对一个定积分表达式求导时，通常需要使用微积分基本定理和链式法则来处理。
1. 积分上限为变量的情况：
若函数 $ F(x) = \int_a^{x} f(t) \, dt $，则其导数为：
$$
F'(x) = f(x)
$$
2. 积分上限为函数的情况：
若 $ F(x) = \int_a^{u(x)} f(t) \, dt $，则其导数为：
$$
F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)
$$
3. 积分下限为函数的情况：
若 $ F(x) = \int_{v(x)}^{b} f(t) \, dt $，则其导数为：
$$
F'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x)
$$
4. 上下限均为函数的情况：
若 $ F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $，则其导数为：
$$
F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)
$$
三、方法总结表
| 情况 | 表达式 | 导数公式 | 说明 |
| 积分上限为变量 | $ \int_a^x f(t) \, dt $ | $ f(x) $ | 直接应用微积分基本定理 |
| 积分上限为函数 | $ \int_a^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 链式法则应用 |
| 积分下限为函数 | $ \int_{v(x)}^b f(t) \, dt $ | $ -f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 反向积分需加负号 |
| 上下限均为函数 | $ \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 同时考虑上下限变化 |
四、示例解析
例1：
求 $ \frac{d}{dx} \int_0^x \sin t \, dt $
解：根据基本定理，结果为 $ \sin x $
例2：
求 $ \frac{d}{dx} \int_1^{x^2} e^t \, dt $
解：设 $ u(x) = x^2 $，则导数为 $ e^{x^2} \cdot 2x $
例3：
求 $ \frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^5 \ln t \, dt $
解：设 $ v(x) = \sqrt{x} $，则导数为 $ -\ln(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $
五、小结
求定积分的导数本质上是对变限积分进行求导，关键在于识别积分上下限是否为变量，并灵活运用微积分基本定理和链式法则。通过上述方法与实例，可以系统掌握这一知识点，提升解决相关问题的能力。
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